怎么因式分解三次多項式

解一元三次方程，首先要得到一個解，這個解可以憑借經驗或者湊數得到，然后根據短除法得到剩下的項。 舉例說明解x³-3x²+4=0這題。 具體過程：我們觀察式子，很容易找到x=-1是方程的一個解，所以我們就得到一個項x+1。 剩下的項我們用

本文我們將從以下幾個部分來詳細介紹如何因式分解三次多項式：通過組合來分解、利用自由項、5 參考

這篇文章教你怎么因式分解三次多項式。我們要學會如何用組合方法和因式分解自由項的方法來解這類問題。部分 1通過組合來分解

x^3-5x^2+17x-13 看看x等于什么可以使他等于0 顯然x=1可以 所以有一個因式是x-1 所以x^3-5x^2+17x-13 =x^3-x^2-4x^2+4x+13x-13 =x^2(x-1)-4x(x-1)+13(x-1) =(x-1)(x^2-4x+13)

第1步：把多項式分成兩部分。

1、如果沒有常數項，把x提出來，就成2次多項式了 2、看能否用公式： X1·X2·X3=-d/a； X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a； X1+X2+X3=-b/a。 3、對于ax^3+bx^2+cx+d(對于x因式分解)，先求a,d的因數，比如p是a的因數，比如q是d的因數，把x=q/p帶入原式，如果

分組后分開解決。

找零點。 比如x=-1使代數式等于0， 則x+1一定是它的一個因式，然后再以這個罷工為基準進行因式分解。 原式＝x^3+x^2+3x^2+3x+2x+2 =x^2(x+1)+3x(x+1)+2(x+1) =(x+1)(x^2+3x+2) =(x+1)(x+1)(x+2) =(x+1)^2(x+2)

比如要分解多項式x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0?？梢园阉纸鉃?(x3 + 3x2)和 (- 6x - 18)

十字分解法的方法簡單來講就是：十字左邊相乘等于二次項，右邊相乘等于常數項，交叉相乘再相加等于一次項。其實就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解。 十字分解法能把二次三項式分解因式（不一定在整數范圍內）

第2步：找出每項中的公因子。

x^3-6x^2+12x-16=(x^3-4x^2)-2(x^2-6x+8) =x^2(x-4)-2(x-4)(x-2) =(x-4)[x^2-2(x-2)] =(x-4)(x^2-2x+4) 即有:x^3-6x^2+12x-16=(x-4)(x^2-2x+4) 最高次數項為3的函數，形如y=ax³+bx²+cx+d（a≠0,b,c,d為常數）的函數叫做三次函數。 三次

在(x3 + 3x2)中，x2是公因子。

是否可以因式分解需要看是在那個數域上討論。 如果是在復數域上，根據代數基本定理，就一定可以因式分解。 如果在其他數域上，可以用待定系數法，三次多項式分解有幾種情況，分成3個1次，或1個1次，1個2次，就此確定系數，看下是否在相應數域內

在(- 6x - 18)中， -6 是公因數。

是否可以因式分解需要看是在那個數域上討論。 如果是在復數域上，根據代數基本定理，就一定可以因式分解。 如果在其他數域上，可以用待定系數法，三次多項式分解有幾種情況，分成3個1次，或1個1次，1個2次，就此確定系數，看下是否在相應數域內

第3步：把公因子提取出來。

（基本方法）對一般的高次多項式有 配方法、公式法、換元法和分組分解法 （特殊方法）也可以用試根法（因式定理）找到因式，再用待定系數法（結合賦值法）求出待定系數，或綜合除法直接求出剩下的因式 （對稱式的方法）對于對稱多項式有 就是上

把x2從第一項提出來，得出x2(x + 3)。

3次多項式的因式分解方法主要還是先觀察出它的一個根來,然后判定它含有哪個一次因子,分解后就變為二次的了.下面的內容系統地介紹了因式分解的方法. 即和差化積，其最后結果要分解到不能再分為止。而且可以肯定一個多項式要能分解因式，則結果唯

把-6 從第二項提出來，得出-6(x + 3)。

待定系數 ， 對多項式同樣適合 實驗后，正確 1 -1 1 6 -1 1 6 -5 得解：(x-1)(x^2+6-5x) 熟悉后一看就可以了

第4步：這兩大項要是含有同樣因子，可以直接合并。

三次以上的多項式，判斷能否分解因式，很難的，我是這樣做的，不知能否為您提供幫助。 1、看有沒有公因式， 2、看沒有符合公式的特征，如平方差，立方差什么的。 3、多項式中，有幾項，有幾個不同的字母，考慮分組分解法。 4、如果多項式中，就

得到(x + 3)(x2 - 6)。

我用一道題來給你舉個例子吧，比如說因式分解 x^3-2x^2-x+2=0 首先看它的常數項是2，所以它的因數有2、-2、1、-1 然后隨便選一個代入x^3-2x^2-x+2=0，直到有一個數代入能成立 比如說帶進去2，結果是2^3-2*2^2-2+2=0，原式成立， 所以證明因式中

第5步：觀察根，得出解。

公式法，也是最簡單的。不過有時候不容易看出來 需要整體的思想。 分組分解法：合理的分組再提取公因式 求根法：令多項式等于零，帶入數值a看看是否成立，若成立，則x-a必然是其中一個因式，然后在配湊 轉化成二次方的因式分解。 數值a的選?。篴

若在開根的時候有x2，記得可能有正負兩解。

十字相乘法一般用于分解二次三項式。 三次三項式一般用拆項，減項，先提公共的因式,再像 二次那樣因式分解。 因式分解的步驟： 1.提取公因式：這個是最基本的.就是有公因式就提出來。（相同取出來剩下的相加或相減） 2.完全平方：看到式字內有兩

得出-3、√6和-√63。

令 x = a - b，代入原方程得 化簡為 若同時滿足： 解得a和b，那么x = a - b是原方程的一個根。 方程兩邊同時乘以 得 這是一個關于a的三次方的二次方程，可以用求根公式求解出a，從而可以求出b的值，這樣我們就可以得到原三次方程的解。 拓展資

部分 2利用自由項

從給出的假設，可以知道題目條件有說：x^3+ax^2+bx-6=0 有根 x=1 和 x=2 。 通常，多項式的根就是分解因式中的一次因式 。

第1步：把多項式整理為ax3+bx2+cx+d。

其實這道題就是要的是一種添補的思維，3次方有點高次，我們就可以添補一個x²和一個x，當然添加以后再減: x³-x²+x²-x+x-1 然后我們就可以整理一下式子，兩兩結合: （x³-x²）+（x²-x）+x-1 然后把公共部分提取

比如要分解多項式：x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0。

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 大概就這幾個

第2步：把所有 "d"的因數找出來。

提公因式法、分組分解法、待定系數法、十字分解法、雙十字相乘法、對稱多項式等等。 1、一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 2、分組分解法指通

常數"d"是不含如"x"變量的數。

因數就是可以相乘得到另一個數的數。這里，10或 "d"的因數是: 1、 2、 5 和 10。

第3步：找出一個因子，讓多項式等于零。

當用d的因數替代"x"時，我們要看看哪個符合方程的解。

試試第一個因數 1 ，把x替換掉，得到 (1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0

得到 1 - 4 - 7 + 10 = 0。

因為 0 = 0 是真實的，所以x = 1 是一個解。

第4步：重新整理一下，如果x = 1，可以把整個方程改一下面目。

"x = 1" 等價于"x - 1 = 0" 或 "(x - 1)" 。我們剛剛從每邊都減掉了一個1。

第5步：把剩余的因數都分解出來。

"(x - 1)" 是我們的一個根，看看能不能把剩余的解都提出來，一次解決一個多項式。

可不可以把(x - 1) 從 x3 提出來？ 不行，但是可以從第二項借一個 -x2 ，分解為 x2(x - 1) = x3 - x2。

可不可以把(x - 1) 從剩余部分提出來？不行，要從第三項 -7x 借一個 3x。于是得到-3x(x - 1) = -3x2 + 3x。

因為 -7x 中提取出一個 3x，第三項變為 -10x ，而我們的常數是10?？梢苑纸鈫?？可以！ -10(x - 1) = -10x + 10。

我們改變了一些變量，讓其可以分解出 (x - 1) 。重新整理的方程是這樣的： x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0 ，但和原先 x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0 沒什么差別。

第6步：繼續用自由項因數因式分解。

仔細觀察我們在第五步中用(x - 1) 因式分解出的數字：

x2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0?？梢灾匦抡?，要再一次分解容易得多: (x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0。

只需要因式分解(x2 - 3x - 10) ，得到(x + 2)(x - 5)。

第7步：于是得到的解就是之前算出來的因數了。

可以把每一項都代回去試試看對不對。

(x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 表示解是 1、 -2、5。

把-2 代入等式：(-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0。

把 5 代入等式：(5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0。

小提示

三次多項式是三個一次多項式的積，或者一個無法分解的二次多項式和一個一次多項式的積。后面的情況，我們將整個等式除以一次多項式得到二次多項式。

三次多項式一定能因式分解得出實數解，因為每個三次項都一定有個實根。三次方多項式如x3 + x + 1含有無理實根，不能被因式分解成含有整數或有理數系數的多項式。雖然可以用立方方程因式分解，這種方程還是不能分解成一個“整數”多項式。

參考

http://web.math.ucsb.edu/~vtkala/2016/S/4B/FactoringCubicPolynomials.pdf

https://sciencing.com/solve-cubic-polynomials-2409.html

https://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials-solving.html

https://www.dummies.com/education/math/pre-calculus/factoring-four-or-more-terms-by-grouping/

https://kipkis.com/Factor_a_Cubic_Polynomial

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如圖這個三次多項式是怎么因式分解的

顯然，可以用十字相乘法

三次多項式一定可以因式分解嗎

是否可以因式分解需要看是在那個數域上討論。

如果是在復數域上，根據代數基本定理，就一定可以因式分解。

如果在其他數域上，可以用待定系數法，三次多項式分解有幾種情況，分成3個1次，或1個1次，1個2次，就此確定系數，看下是否在相應數域內。

對于特定的數域，例如有理數域，也可以使用特定的方法判斷，如：艾森斯坦判別法。

求對三次或高次多項式因式分解的方法。。

（基本方法）對一般的高次多項式有

配方法、公式法、換元法和分組分解法

（特殊方法）也可以用試根法（因式定理）找到因式，再用待定系數法（結合賦值法）求出待定系數，或綜合除法直接求出剩下的因式

（對稱式的方法）對于對稱多項式有

就是上面的特殊方法（可以結合對稱式的性質）

每一個方法都有很多內容，想深究還是買本奧賽書

華東師范大學的《奧賽小叢書-因式分解》不錯

如果不想深究就別想了吧

不要企圖在網上獲得什么使用的知識

真正的知識還是只有書上才有

分解三次因式的方法？

3次多項式的因式分解方法主要還是先觀察出它的一個根來,然后判定它含有哪個一次因子,分解后就變為二次的了.下面的內容系統地介紹了因式分解的方法.

即和差化積，其最后結果要分解到不能再分為止。而且可以肯定一個多項式要能分解因式，則結果唯一，因為：數域F上的次數大于零的多項式f(x),如果不計零次因式的差異，那么f(x)可以唯一的分解為以下形式：

f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次項的系數，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可約多項式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。

（*）或叫做多項式f(x)的典型分解式。證明：可參見《高代》P52-53 初等數學中，把多項式的分解叫因式分解，其一般步驟為：一提二套三分組等要求為：要分到不能再分為止。

一元三次多項式如何因式分解

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